HMF 3 - Lösung


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Aufgabe 1 Punktprobe

\(S(-2|-4|5)\) einsetzen in \( E: x_2 - 3x_3 = -19 \\\) :

\( \quad \begin{align} -4 - 3 \cdot 5 & = -19 \\[5pt] -19 & = -19 \quad \Rightarrow wahre \quad Aussage\\ \end{align} \\ \)

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\(S\) liegt in \(E\).

\(\\[2em]\)

Aufgabe 2 orthogonale Lage ‘’Gerade-Ebene

my image

Ist die Gerade \(g\) senkrecht zur Ebene \(E\), so ist der Normalenvektor \(\vec{n}\) mit

\( \quad \vec{n} = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\ \)

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linear abhängig von dem Vektor \(\vec{PQ}\) mit

\( \quad \begin{align} \vec{PQ} & = \vec{q} - \vec{p} \\[6pt] \vec{PQ} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 11 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \\[6pt] \vec{PQ} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -3 \\ 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \\ \)

\(\\\)

und prüfen

\( \quad \begin{align} \vec{PQ} & = k \cdot \vec{n} \\[6pt] \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ -3 \\ 9 \end{array} \right) \end{smallmatrix} & = k \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 0 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \\[1em] \)

\(\\[2em]\)

Aufgabe 3 Orthogonale Spiegelung

my image

Da \(Q\) der Spiegelpunkt von \(g\) ist und \(S\) in der Spiegelebene \(E\) liegt, kann die Gerade \(h\) mit

\( \quad \begin{align} h: \vec{x} & = \vec{s} + r \cdot \vec{SQ} \\[6pt] \vec{x} & = \vec{s} + r \cdot (\vec{q} - \vec{s}) \\[6pt] \vec{x} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ -4 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \left[ \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 11 \end{array} \right) \end{smallmatrix} -\begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ -4 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \right] \\[6pt] \vec{x} & = \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} -2 \\ -4 \\ 5 \end{array} \right) \end{smallmatrix} +r \cdot \begin{smallmatrix} \left( \begin{array}{r} 3 \\ 3 \\ 6 \end{array} \right) \end{smallmatrix} \end{align} \)

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aufgestellt werden.

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